INTEGRAL (KALKULUS 2)
1. Integral as Anti-Derivative
Integration
is notated ∫ , introduced by Leibniz (1646-1716) from German. The relationship
between Integral and
Differentiation can be written
F’ (x) = dF/dx = f(x) ó ∫f(x) dx = F(x)
F’ (x) = dF/dx = f(x) ó ∫f(x) dx = F(x)
2. Indefinite Integral
Suppose we have :
F(x) = 3x2 + 5x - 7 , then F’(x) = 6x + 5.
F(x) = 3x2 + 5x + 8 , then F’(x) = 6x + 5
F(x) = 3x2 + 5x + c , then F’(x) = 6x + 5
So we have, ∫f(x) dx = F(x) + C, called as an indefinite integral.
F(x) = 3x2 + 5x - 7 , then F’(x) = 6x + 5.
F(x) = 3x2 + 5x + 8 , then F’(x) = 6x + 5
F(x) = 3x2 + 5x + c , then F’(x) = 6x + 5
So we have, ∫f(x) dx = F(x) + C, called as an indefinite integral.
C may value 1,2,3, …(indefinite) =
constant of integration
f(x) is integrand and F(x) is
common integral function.
a. Indefinite
integral of Algebraic Function
Suppose
a is any real constant, f(x) and g(x) is each an integral function whose common
integral function can be defined, then we have some formulas and properties as
follows:
1). ∫ d ( F (x) ) = F (x ) + C
2). ∫ k d x = k x + C
3).
∫ xn dx
= x n+1
/ n +1 +
C, with n ≠ - 1
4).
For n = - 1, formula ( 3 ) can be : ∫
1/x dx = ln x + C
5). ∫ k f ( x ) dx = k ∫ f (x) dx
6). ∫ [ f ( x ) + g (x) ] dx
= ∫ f (x) dx + ∫ g ( x ) dx
7). ∫ [ f ( x ) - g (x) ] dx
= ∫ f (x) dx - ∫ g ( x ) dx
Example:
1) Find the result of ∫ ( 5x9
– 3x5 + 2xÖx
+ x-1 - 5)dx
= 5
x10 – 3 x6 + 2x5/2 + Ln x + C
10
6 5/2
= 5
x10 – 3 x6 + 4 x5/2+ Lnx + C
10
6 5
= 1
x10 – 1 x6 + 4√x5+ Lnx + C
2
2 5
Exercise:
A. Find the result of these
integrals !
1. ∫ F(x) dx, where F(x) =
…………………………
2. ∫ F(s) ds, where F(s) =
…………………………
3. ∫ G(t) dt , where G(t) = …………………………
B. Find function F if the
following are given : F’(x) = 6x2 , F(0) = 0
C. Given that F’(x) = 4x-1 and
F(3) = 20. Find the F(x) !
D.
The slope of tangent of a curve at each point (x,y) is expressed by dy/dx = 3x2
– 6x + 1. If the curve passes point (2,-3), find its equation !
Solution
:
b. Indefinite
integral of Trigonometric Function
The
rule of determining the integral of a trigonometric functions based on the
differentiation of each function is as follows:
1). If y = Sin x → then dy/dx =
Cos x → dy = Cos x dx
∫ dy = ∫ Cos x dx
y = Sin x + C
2). If y = Cos
x → dy/dx = - Sin x → dy = - Sin x dx
∫ dy = ∫ - Sin x dx
y = Cos x + C
∫ dy = ∫ Sin x dx
y = - Cos x + C
3). If Y= tan x = sin x/ cos x =
U/V = (U'.V
- V'.U) / V2
Then, Y' = (Cos x Cos x – (- Sin x ) Sin x) / Cos2 x
= (Cos2
x + Sin2 x) / Cos2
x
= 1/ Cos2 x = Sec2
x
So, = ∫ Sec 2x dx = tan x + C
4). If Y= Cot x = Cos x/ sin x =
U/V = (U'.V - V'.U) / V2
Then Y' = (- Sin x Sin x – Cos x
Cos x) / Sin2
x
= (- Sin2 x –
Cos2 x) / Sin2
x
= -
( Sin2 x + Cos2 x) / Sin2
x
= -1/ Cos2
x = - Cosec2 x
So, = ∫
Cosec2 x dx = Cot x +
C
FORMULAS
OF INTEGRAL TRIGONOMETRIC
1). ∫ Sin
x dx = - Cos x + C
2). ∫ Cos
x dx = Sin x + C
3). ∫ tan
x dx = ln | Sec x | + C = - ln | Cos x |
+ C
4). ∫ Cot
x dx = ln | Sin x | + C
5). ∫
Cosec x dx = ln | Cosec x – Cot x
| + C = ln | tan x/2 | + C
6). ∫ Sec
x dx = ln | Sec x + tan x | + C = ln |
tan ( x/2 + λ/2
| + C
7). ∫
Cosec2 x dx = - Cot x
+ C
8). ∫ Sec2
x dx = tan x + C
9). ∫
Cosec x Cot x dx = - Cosec x + C
10). ∫ Sec
x tan x dx = Sec x + C
11). ∫ Sin
ax dx = -1/α Cos α x + C
12). ∫ Cos
ax dx = 1/a Sin ax + C
13). ∫ Sin
(ax + b) dx = 1/-α Cos (α x + b ) + C
14). ∫ Cos(
ax + b) dx = 1/α Sin ( αx + b) + C
15). ∫ Sinⁿ
x Cos x dx
= 1/n+1 Sinn+1 x + C
16). ∫ Cosⁿ
x Sin x dx = - 1/n+1 Cosn+1 x + C
NOTES :
Please Remember some
importants Formulas to help you find the integral of Trigonometric functions !
Cos² x +Sin² x = 1
Sin² x = ½ (1
– Cos 2 x )
Cos² x = ½ (1
+ Cos 2 x )
1 + tan² x = Sec² x
2
Sin α
Cos β = Sin (α + β ) + Sin (α - β )
2
Cos α Sin β = Sin (α + β ) - Sin (α - β )
2 Cos α Cos β = Cos (α + β ) + Cos
(α
- β
)
-
2 Sin α
Cos β
= Cos (α
+ β
) - Cos (α - β )
Examples:
1). ∫ (5 Sin x – 3Cos x + 2 Sec2
x)dx
= 5 (- Cos x ) – 3Sin x + 2 tan x + C
= - 5 Cos x – 3Sin x + 2 tan x +
C
2). ∫ (5 Sec2 x – 2 Sin
x + 3 Cosx) dx
= 5 tan x + 2 Cos x + 3 Sin x + C
C. Integration by substitution method
Suppose
by applying a substitution of u = g(x), where g is a function with derivation
so that ∫f(g(x)).g’(x)dx can be changed into ∫f(u)du. If f(u) is an
anti-derivative of f(x), then ∫f(g(x)).g’(x)dx = ∫f(u)du = F(u) + C = F(g(x)) +
C.
To
get better understanding about the above formula, study the following example:
1). Find the results of:
a) ∫x (3x2 – 5 x)10 dx
Solution: Suppose U = 3x2 – 5
du/dx = 6x
du = 6x dx
1/6 du
= x dx
So, ∫x (3x2 – 5 x)10
dx = ∫ U10 .1/6 du
= ∫
1/6 .1/11U11 + C
= ∫
1/66 U11 + C
= ∫
1/66 ( 3x2 – 5 )10 + C
b) ∫ (Sin 7x) Cos x dx
Solution : Suppose U = sin x
du/dx = Cos x
du = Cos x dx
So, ∫ (Sin 7x) Cos x dx = ∫ U7
. du
= ∫ 1/8 U8 + C
=
1/8 Sin x8 + C
C) ∫( x4 + 3x )30 ( 4 x3
) dx
Solution : Suppose U = x4 + 3x
du/dx = 4 x3 +
3
du = 4 x3
+ 3 dx
So, ∫ ( x4 + 3x )30
( 4 x3 ) dx
= ∫ U30 .du
= ∫1/31 U31 + C
=
∫1/31 ( x4 + 3x )31 + C
d) ∫ Cos ( 3x +1). Sin ( 3x + 1 )
dx
Solution : Suppose U = Sin ( 3x +
1 )
du/dx
= Cos (3x + 1).3
du = Cos (3x + 1).3 dx
1/3 du = Cos (3x + 1) dx
So, Cos ( 3x +1). Sin ( 3x + 1 ) dx
=
∫ 1/3 du . U
= ∫ U.
1/3 du
=
∫ ½ U2. 1/3 du
=
∫ ½ .1/3 U2 + C
=
∫ 1/6 U2 + C
=
∫ 1/6 Sin2. (3x +1)+ C
e). ∫ Sin5 x2
( x . Cos )2 dx
Solution: Suppose U = Sin x2
du/dx
= Cos x2 . 2x
du = 2x Cos x2.dx
½ du = x cos x2
.dx
So,
∫ Sin5 x2 ( x . Cos )2 dx = ∫ U5.½ du
= ∫ 1/6 U6. ½ du
= ∫ ½. 1/6 U6
+ C
= ∫ 1/12 U6 + C
= 1/12 ( Sin x2 )6 + C
Exercises :
By Using the substitution method
find the following integrals !
1) ∫ ( x4 - 1 ). x2 dx = ….
2)
∫ 3y dy
√
2y2 +5
3) ∫ √ (7x+4) dx = …
Saya sangat berterimakasih banyak kepada MBAH SARTO atas bantuannya saya bisa menang togel 4D nya..saya ingin berbagi cerita kepada semuanya bahwa saya ini cuma seorang TKI dari malaysia dan saya cuma bekerja sebagai pembantu,tentunya anda tau kalau pembantu itu gajinya tidak seberapa dan saya kepengen pulang kampung tapi gaji saya tidak cukup akhirnya saya coba pinjam keteman saya,dia pun juga tidak punya uang dan saya pindah lagi keteman yang lain dia pun juga tidak punya,,akhirnya teman saya memberikan nomor telpon MBAH SARTO dan katanya ini paranormal sangat terkenal yang banyak membantu orang dalam mengatasi masalah,dengan penuh semangat saya langsun menghubungi MBAH SARTO dan ALHAMDULILLAH saya diberikan anka yang benar-benar tembus dan berkat bantuan MBAH SARTO saya sudah bisa berkumpul kembali dengan keluarga saya dikampung,,jika anda sangat membutuhkan bantuan..jangan anda ragu silahkan hubungi saja MBAH SARTO di 082=378=607=111 karna beliau meman benar-benar paranormal yang bisa dipercaya dan yang punya room terimah kasih banyak atas tumpangannya.
ReplyDeleteSaya sangat berterimakasih banyak kepada MBAH SARTO atas bantuannya saya bisa menang togel 4D nya..saya ingin berbagi cerita kepada semuanya bahwa saya ini cuma seorang TKI dari malaysia dan saya cuma bekerja sebagai pembantu,tentunya anda tau kalau pembantu itu gajinya tidak seberapa dan saya kepengen pulang kampung tapi gaji saya tidak cukup akhirnya saya coba pinjam keteman saya,dia pun juga tidak punya uang dan saya pindah lagi keteman yang lain dia pun juga tidak punya,,akhirnya teman saya memberikan nomor telpon MBAH SARTO dan katanya ini paranormal sangat terkenal yang banyak membantu orang dalam mengatasi masalah,dengan penuh semangat saya langsun menghubungi MBAH SARTO dan ALHAMDULILLAH saya diberikan anka yang benar-benar tembus dan berkat bantuan MBAH SARTO saya sudah bisa berkumpul kembali dengan keluarga saya dikampung,,jika anda sangat membutuhkan bantuan..jangan anda ragu silahkan hubungi saja MBAH SARTO di 082=378=607=111 karna beliau meman benar-benar paranormal yang bisa dipercaya dan yang punya room terimah kasih banyak atas tumpangannya.
ya ga ngerti sih bahasanya... hehe liat rumus nya aja deh
ReplyDeleteterimakasih infonya
ReplyDeleteSorry, I want ask how to be (x cos)^2 become x cos x^2?
ReplyDeletethe e number