Tuesday, January 15, 2013

INTEGRAL (KALKULUS 2)

INTEGRAL (KALKULUS 2)

1. Integral as Anti-Derivative
Integration is notated ∫ , introduced by Leibniz (1646-1716) from German. The relationship between Integral and Differentiation can be written 
F’ (x) = dF/dx = f(x) ó f(x) dx = F(x)
2. Indefinite Integral
Suppose we have :
F(x) = 3x2 + 5x  - 7  , then F’(x) = 6x + 5.
F(x) = 3x2 + 5x + 8  , then F’(x) = 6x + 5
F(x) = 3x2 + 5x + c  , then F’(x) = 6x + 5
So we have, f(x) dx = F(x) + C, called as an indefinite integral.
C may value 1,2,3, …(indefinite) = constant of integration
f(x) is integrand and F(x) is common integral function.

a.  Indefinite integral of Algebraic Function
Suppose a is any real constant, f(x) and g(x) is each an integral function whose common integral function can be defined, then we have some formulas and properties as follows:
1). ∫ d ( F (x) ) = F (x ) + C
2). ∫ k d x = k x + C
3). ∫ xn dx = x n+1 / n +1 + C, with n ≠ - 1
4). For n = - 1, formula ( 3 ) can be : ∫  1/x  dx =  ln x + C
5). ∫ k f ( x ) dx = k ∫ f (x) dx
6). ∫ [ f ( x ) + g (x) ] dx =  ∫ f (x) dx + ∫ g ( x ) dx
7). ∫ [ f ( x ) - g (x) ] dx =  ∫ f (x) dx - ∫ g ( x ) dx

Example:
1) Find the result of ∫ ( 5x9 – 3x5 + 2xÖx + x-1 - 5)dx
   =  5 x103 x6 + 2x5/2 + Ln x + C
      10         6       5/2
   =  5 x103 x6 + 4 x5/2+ Lnx + C
      10         6        5
  =  1 x101 x6 + 4√x5+ Lnx + C
      2          2        5
Exercise:
A. Find the result of these integrals !
1. ∫ F(x) dx, where F(x) = …………………………
2. ∫ F(s) ds, where F(s) = …………………………
3. ∫ G(t) dt , where G(t) = …………………………
B. Find function F if the following are given : F’(x) = 6x2 , F(0) = 0
C. Given that F’(x) = 4x-1 and F(3) = 20. Find the F(x) !
D. The slope of tangent of a curve at each point (x,y) is expressed by dy/dx = 3x2 – 6x + 1. If the curve passes point (2,-3), find its equation !
Solution :

b.  Indefinite integral of Trigonometric Function
The rule of determining the integral of a trigonometric functions based on the differentiation of each function is as follows:
1). If y = Sin x → then dy/dx = Cos x → dy = Cos x dx
                                                   ∫ dy = ∫  Cos x dx
                                                       y = Sin x + C
2). If y = Cos x → dy/dx = - Sin x → dy = - Sin x dx
                                                     ∫ dy = ∫ - Sin x dx
                                                         y = Cos x + C
                                                     ∫ dy = ∫  Sin x dx
                                                         y = - Cos x + C
3). If Y= tan x = sin x/ cos x = U/V = (U'.V - V'.U) / V2

     Then, Y' = (Cos x Cos x – (- Sin x ) Sin x) / Cos2 x

                    = (Cos2 x + Sin2 x) / Cos2 x

                    = 1/ Cos2 x = Sec2 x

So, = ∫  Sec 2x dx = tan x + C
4). If Y= Cot x = Cos x/ sin x = U/V = (U'.V - V'.U) / V2

    Then Y' = (- Sin x Sin x –  Cos x  Cos x) / Sin2 x

         = (- Sin2 x – Cos2 x) / Sin2 x

         = - ( Sin2 x + Cos2 x) / Sin2 x

         = -1/ Cos2 x = - Cosec2 x

So,  = ∫  Cosec2 x dx  = Cot x + C

 

FORMULAS OF INTEGRAL TRIGONOMETRIC

1).    Sin x dx  = - Cos x + C
2).    Cos x dx  = Sin x + C
3).    tan x dx  = ln | Sec x | + C = - ln | Cos x | + C
4).    Cot x dx  = ln | Sin x | + C
5).    Cosec x dx  = ln | Cosec x – Cot x | + C   = ln | tan x/2 | + C
6).    Sec x dx  = ln | Sec x + tan x | + C = ln | tan ( x/2 + λ/2 | + C
7).    Cosec2 x dx  = - Cot x + C
8).    Sec2 x dx  = tan x + C
9).    Cosec x Cot x dx  = - Cosec x + C
10).    Sec x tan x dx  = Sec x + C
11).    Sin ax dx  = -1/α Cos α x + C
12).    Cos ax dx  = 1/a Sin ax + C
13).    Sin (ax + b) dx  = 1/-α Cos (α x + b ) + C
14).    Cos( ax + b) dx  = 1/α Sin ( αx + b) + C
15).    Sinⁿ x Cos x dx  = 1/n+1 Sinn+1  x + C
16).    Cosⁿ x Sin x dx  = - 1/n+1 Cosn+1  x + C
NOTES :
Please Remember some importants Formulas to help you find the integral of Trigonometric functions !

Cos² x +Sin² x = 1

Sin² x  = ½  (1 – Cos 2 x )

Cos² x  = ½  (1 + Cos 2 x )

1 + tan² x = Sec² x

2 Sin α Cos β = Sin (α + β ) + Sin (α - β )
2 Cos α Sin β = Sin (α + β ) -  Sin (α - β )
            2 Cos α Cos β = Cos (α + β ) + Cos (α - β )
- 2 Sin α Cos β = Cos (α + β ) - Cos (α - β )

Examples:


1). ∫ (5 Sin x – 3Cos x + 2 Sec2 x)dx
   = 5 (- Cos x ) – 3Sin x + 2 tan x + C
   = - 5 Cos x  – 3Sin x + 2 tan x + C

2). ∫ (5 Sec2 x – 2 Sin x + 3 Cosx) dx
    = 5 tan x + 2 Cos x + 3 Sin x + C

C. Integration by substitution method
Suppose by applying a substitution of u = g(x), where g is a function with derivation so that ∫f(g(x)).g’(x)dx can be changed into ∫f(u)du. If f(u) is an anti-derivative of f(x), then ∫f(g(x)).g’(x)dx = ∫f(u)du = F(u) + C = F(g(x)) + C.
            To get better understanding about the above formula, study the following example:
1). Find the results of:
a)  ∫x (3x2 – 5 x)10 dx
     Solution: Suppose  U = 3x2 – 5
                      du/dx = 6x
                          du  = 6x dx
                    1/6 du  = x dx
 So, ∫x (3x2 – 5 x)10 dx  = ∫ U10 .1/6 du
                                         = ∫ 1/6 .1/11U11 + C
                                         = ∫ 1/66 U11 + C
                                         = ∫ 1/66 ( 3x2 – 5 )10 + C
b) ∫ (Sin 7x) Cos x dx
     Solution : Suppose U = sin x
                      du/dx = Cos x
                          du  = Cos x dx
     So, ∫ (Sin 7x) Cos x dx = ∫ U7 . du
                                          =  ∫ 1/8 U8 + C
                                          =  1/8 Sin x8 + C

C)  ∫( x4 + 3x )30 ( 4 x3 ) dx
     Solution : Suppose  U = x4 + 3x
                      du/dx = 4 x3 + 3
                           du = 4 x3 + 3 dx
     So, ∫ ( x4 + 3x )30 ( 4 x3 ) dx
    =   ∫ U30 .du
    =   ∫1/31 U31 + C
     =   ∫1/31 ( x4 + 3x )31 + C

d) ∫ Cos ( 3x +1). Sin ( 3x + 1 ) dx
    Solution : Suppose  U = Sin ( 3x + 1 )
                 du/dx  = Cos (3x + 1).3
                     du   = Cos (3x + 1).3 dx
               1/3 du   = Cos (3x + 1) dx
 So, Cos ( 3x +1). Sin ( 3x + 1 ) dx
     =   ∫ 1/3 du . U
     =     U. 1/3 du
     =     ½ U2. 1/3 du
     =     ½ .1/3 U2 + C
      =     1/6 U2 + C
      =     1/6 Sin2. (3x +1)+ C

e). ∫ Sin5 x2 ( x . Cos )2 dx
     Solution: Suppose   U = Sin x2
                  du/dx  = Cos x2 . 2x
                        du = 2x Cos x2.dx
                    ½ du = x cos x2 .dx
      So,  ∫ Sin5 x2 ( x . Cos )2 dx   = ∫ U5.½ du
                                                 = ∫ 1/6 U6. ½ du
                                                 = ∫ ½. 1/6 U6 + C
                                                 = ∫ 1/12 U6 + C
                                                 = 1/12 ( Sin x2 )6 + C
Exercises :
By Using the substitution method find the following integrals !
1) ∫  ( x4 - 1 ). x2 dx  = ….

2) ∫     3y     dy
           2y2 +5
3) ∫ √ (7x+4) dx = …


3 comments:

  1. Saya sangat berterimakasih banyak kepada MBAH SARTO atas bantuannya saya bisa menang togel 4D nya..saya ingin berbagi cerita kepada semuanya bahwa saya ini cuma seorang TKI dari malaysia dan saya cuma bekerja sebagai pembantu,tentunya anda tau kalau pembantu itu gajinya tidak seberapa dan saya kepengen pulang kampung tapi gaji saya tidak cukup akhirnya saya coba pinjam keteman saya,dia pun juga tidak punya uang dan saya pindah lagi keteman yang lain dia pun juga tidak punya,,akhirnya teman saya memberikan nomor telpon MBAH SARTO dan katanya ini paranormal sangat terkenal yang banyak membantu orang dalam mengatasi masalah,dengan penuh semangat saya langsun menghubungi MBAH SARTO dan ALHAMDULILLAH saya diberikan anka yang benar-benar tembus dan berkat bantuan MBAH SARTO saya sudah bisa berkumpul kembali dengan keluarga saya dikampung,,jika anda sangat membutuhkan bantuan..jangan anda ragu silahkan hubungi saja MBAH SARTO di 082=378=607=111 karna beliau meman benar-benar paranormal yang bisa dipercaya dan yang punya room terimah kasih banyak atas tumpangannya.

    Saya sangat berterimakasih banyak kepada MBAH SARTO atas bantuannya saya bisa menang togel 4D nya..saya ingin berbagi cerita kepada semuanya bahwa saya ini cuma seorang TKI dari malaysia dan saya cuma bekerja sebagai pembantu,tentunya anda tau kalau pembantu itu gajinya tidak seberapa dan saya kepengen pulang kampung tapi gaji saya tidak cukup akhirnya saya coba pinjam keteman saya,dia pun juga tidak punya uang dan saya pindah lagi keteman yang lain dia pun juga tidak punya,,akhirnya teman saya memberikan nomor telpon MBAH SARTO dan katanya ini paranormal sangat terkenal yang banyak membantu orang dalam mengatasi masalah,dengan penuh semangat saya langsun menghubungi MBAH SARTO dan ALHAMDULILLAH saya diberikan anka yang benar-benar tembus dan berkat bantuan MBAH SARTO saya sudah bisa berkumpul kembali dengan keluarga saya dikampung,,jika anda sangat membutuhkan bantuan..jangan anda ragu silahkan hubungi saja MBAH SARTO di 082=378=607=111 karna beliau meman benar-benar paranormal yang bisa dipercaya dan yang punya room terimah kasih banyak atas tumpangannya.

    ReplyDelete
  2. ya ga ngerti sih bahasanya... hehe liat rumus nya aja deh

    ReplyDelete
  3. Sejarah kalkulus dalam buku Pengantar Ilmu Pertanian karangan Pak Andi Hakim Nasoetion diawali oleh para gembala disekitar Laut Tengah menggunakan batu kapur sebesar krikil untuk melambangkan seekor domba yang ia gembalakan.

    mail: harishadikusuma@apps.ipb.ac.id
    web: http://harishadikusuma.student.ipb.ac.id

    ReplyDelete