ALAT PERAGA MATEMATIKA MODEL PYTHAGORAS

Fungsi:

Menunjukkan kebenaran rumus ythagoras bahwa kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya

Petunjuk Penggunaan :

Translasikan potongan-potongan pada persegi kecil dan sedang ke persegi besar (sisi miring segitiga)

Pythagoras dengan Persegi Satuan :

Pythagoras Baskhara :

Pythagoras Euclid :

»» READMORE...

SOAL DAN PEMBAHASAN OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT SMA

1.    Carilah semua bilangan bulat positif yang kurang dari 1000 sedemikian hingga jumlah digit pertama dan digit terakhirnya 10

Jawab :

Karena jumlah angka pertama dan angka terakhirnya adalah 10, maka pasangan angka pertama dan angka terakhir yang mungkin adalah (1,9), (2,8), (3,7), (4,6), dan (5,5)

Untuk (1,9)

a.       Tanpa angka tengah 2 angka yaitu 19 dan 91

b.      Satu angka ditengah 20 angka, yaitu 109 … 199 (10 angka) dan kebalikanya (10 angka)

c.       Dua angka tengah : banyaknya sesuai jumlah kombinasi 2 angka dari angka 0 sampai 9 yaitu 10! : 2! = 10 x 9 = 90 dikurangi dengan 10 pasang angka yang sama yaitu 00, 11, … 99. Sehingga jumlahnya adalah 80.

Total jumlah semua bilangan untuk kombinasi dua angka ditengah adalah 160 ( dikali 2, karena satu bentuk berawal 1 dan berakhir 9 dan bentuk lainya merupakan kebalikannya)

Sehingga keseluruhannya adalah 182 angka.

Dengan cara yang sama kita dapatkan pula banyak kombinasi angka untuk pasangan (2,8), (3,7), (4,6), dan (5,5)

Dan akhirnya kita akan dapatkan total keseluruhan banyak bilangan adalah :

182 + 182 + 182 + 182 + 91 = 819 (ingat : pasangan (5,5) hanya dihitung sekali saja)

2.    Hitunglah hasil dari 1² – 2² + 3² – 4² + 5² – 6² + …. + 2009² – 2010² + 2011²

Jawab :

1² – 2² dapat diubah menjadi (1 – 2) (1 + 2) = – 1 – 2, 3² – 4² dapat diubah menjadi (3 – 4)(3 + 4) = – 3 – 4, dan seterusnya.

Sehingga bentuk tersebut dapat diubah menjadi :

-1. -2, -3, -4, -5, -7, … , -2009, -2010, 2011² , atau :

- (1 + 2 + 3 + 4 + … + 2009 + 2010) + 2011²

- ½ x 2010 x 2011 + 2011²

2011 (-1005 + 2011)

2011 x 1006 = 2023066

3.    Manakah yang merupakan bilangan prima ?

11¹¹ – 11,            7⁷ – 7,                         5⁵ – 5,                         3³ – 3,                         2² – 2

Jawab :

11¹¹ – 11 = 11 (11¹⁰ – 1)           ⟾ bukan prima (bisa dibagi 11)

7⁷ – 7 = 7 (7⁶ – 1)                       ⟾ bukan prima (bisa dibagi 7)

5⁵ – 5 = 5 (5⁴ – 1)                       ⟾ bukan prima (bisa dibagi 5)

3³ – 3 = 3 (3² – 1)                       ⟾ bukan prima (bisa dibagi 3)

2² – 2 = 2 (2 – 1) = 2                 ⟾ prima

4.    Carilah seluruh pasangan bilangan yang mempunyai FPB  4 dan KPK 120

Jawab :

FPB 4 berarti bersama yang tekecil dari kedua bilangan adalah 2²

KPK 120 berarti faktor-faktor terbesar dari kedua bilangan adalah 2³ . 3 . 5,

Maka pasangan bilangannya adalah

2² dengan 2³ . 3 . 5         ⟾       4 dengan 120

2² . 3 dengan 2³ . 5         ⟾       12 dengan 40

2² . 5 dengan 2³ . 3         ⟾       20 dengan 24

2² . 3. 5 dengan 2³ ⟾       60 dengan 8

5.    Berapa digit satuan dari 17¹⁰³ + 5?

Jawab :

Karena yang diminta hanya angka satuanya saja, maka kita cukup hanya memperhatikan angka terakhir dari 7¹⁰³

Jika kita urutkan mulai dari 7¹, 7², 7³, 7⁴, dan seterusnya, maka kita akan dapatkan  pola angka satuanya sebagai berikut :

7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, … dengan pola yang berulang 7, 9, 3, 1

Dan jika kita tambahkan dengan 5, maka kita dapatkan pola angka satuan sebagai berikut :

2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, … dengan pola pengulangan angka 2, 4, 8, 6

Yang artinya untuk pangkat yang tepat habis dibagi 4, maka angka satuannya = 2, jika bersisa 1, maka angka satuannya 4, jika bersisa 2, maka angka satuanya 8, dan jika bersisa 3, maka angka satuanya 6

Dan karena pangkatnya 103, serta 103 = 25 x 4 + 3, maka angka terakhirnya adalah 6

6.    Dengan menggunakan digit-digit 0, 1, 2, 3, … , 9, masing-masing hanya sekali. Buatlah dua buah bilangan bulat positif 5 angka yang berbeda sedemikian hingga selisih positif dari kedua bilangan itu paling kecil

Jawab :

Karena kedua bilangan berbeda dan angka-angka penyusunya juga berbeda, maka selisih paling kecil adalah 11111

Yang salah satunya dipenuhi oleh 59731 dan 48620, sedangkan angka-angka lain dapat diperoleh dengan membolak-balikan susunan angka tersebut.

7.    Jika 1998 = p^sq^tr^u, dengan p, q, dan r bilangan prima, hitunglah p + q + r + s + t + u?

Jawab :

1998 = 2. 3³. 37

Sehingga p + q + r + s + t + u = 2 + 3 + 37 + 1 + 3 + 1 = 47

8.    Jika m bilangan bulat positif, tentukan nilai m yang menyebabkan 2002 : (m² – 2) juga merupakan bilangan bulat positif

Jawab :

Karena 2002 = 2. 7. 11. 13, maka m² – 2 harus sama dengan nilai salah satu faktor atau hasil kali sebagian atau seluruh faktor tersebut.

Dan yang memenuhi m sebagai bilangan bulat positif adalah :

m² – 2 = 2, dengan m = 2

m² – 2 = 7, dengan m = 3

m² – 2 = 14, dengan m = 4

9.    Tentukan sisa pembagian 13²⁰¹¹ oleh 10

Jawab :

Karena dibagi 10, maka sisa pembagiannya adalah angka satuan dari bilangan tersebut. Dan untuk mendapatkan angka satuannya, kita cukup dengan memperhatikan angka satuan dari 3²⁰¹¹.

Untuk itu perhatikan pola angka satuan dari 3, 3², 3³, 3⁴, 3⁵, … sebagai berikut :

3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, … dengan pola pengulangan 3, 9, 7, 1

Karena 2011/4 = 502 bersisa 3, maka sebagaimana pada pembahasan soal nomor 5 di atas, kita dapatkan angka satuannya adalah 1

Berarti sisa pembagianya adalah 1

10.              Hasil kali angka-angka dari bilangan dua digit N adalah M. Tentukan N, jika M + N = 118.

Jawab :

Misalkan N adalah bilangan dengan a sebagai digit puluhan dan b sebagai digit satuan

M = ab

N = 10a + b

M + N = 118

ab + 10a + b = 118

karena a dan b adalah digit satuan yang merupakan bilangan bulat positif mulai dari 0 hingga 9 dan a tidak nol, maka kita tinggal mencari mana yang cocok.

Jika a = 1, maka b = 45               ⟾       tidak cocok

Jika a = 2, maka b = 32,67         ⟾       tidak cocok

Jika a = 3, maka b = 22               ⟾       tidak cocok

Jika a = 4, maka b = 15,6            ⟾       tidak cocok

Jika a = 5, maka b = 11,33         ⟾       tidak cocok

Jika a = 6, maka b = 8,28            ⟾       tidak cocok

Jika a = 7, maka b = 6                 ⟾       cocok

Maka N adalah 76

»» READMORE...

ALAT PERAGA MATEMATIKA (LONCAT KATAK)

ALAT PERAGA MATEMATIKA

LONCAT KATAK

Fungsi/kegunaan :

Menemukan suatu pola bilangan dengan cara bermain

Permasalahan :

Bagaimana memindahkan dua kelompok katak yang berlainan warna, sehingga kedua kelompok katak tersebut akan berpindah tempat ?

Aturan :

Setiap kali melangkah hanya boleh MENGGESER SATU katak atau MELOMPATI SATU katak

Banyaknya Geseran dan Loncatan di hitung dan diisikan pada tabel berikut untuk menemukan suatu pola bilangan :

»» READMORE...

PETERSEN GRAPH

The Petersen graph is an undirected graph with 10 vertices and 15 edges. It is a small graph that serves as a useful example and counterexample for many problems in graph theory. The Petersen graph is named for Julius Petersen, who in 1898 constructed it to be the smallest bridgeless cubic graph with no three-edge-coloring. Although the graph is generally credited to Petersen, it had in fact first appeared 12 years earlier, in 1886. Donald Knuth states that the Petersen graph is "a remarkable configuration that serves as a counterexample to many optimistic predictions about what might be true for graphs in general."

The Petersen graph is the complement of the line graph of K₅. It is also the Kneser graph KG_5,2; this means that it has one vertex for each 2-element subset of a 5-element set, and two vertices are connected by an edge if and only if the corresponding 2-element subsets are disjoint from each other. As a Kneser graph of the form KG_{2n − 1,n − 1} it is an example of an odd graph. Geometrically, the Petersen graph is the graph formed by the vertices and edges of the hemi-dodecahedron, that is, a dodecahedron with opposite points, lines and faces identified together.

The Petersen graph is nonplanar. Any nonplanar graph has as minors either the complete graph K₅, or the complete bipartite graph K_3,3, but the Petersen graph has both as minors. The K₅ minor can be formed by contracting the edges of a perfect matching, for instance the five short edges in the first picture. The K_3,3 minor can be formed by deleting one vertex (for instance the central vertex of the 3-symmetric drawing) and contracting an edge incident to each neighbor of the deleted vertex.

The Petersen graph has crossing number 2.

The most common and symmetric plane drawing of the Petersen graph, as a pentagram within a pentagon, has five crossings. However, this is not the best drawing for minimizing crossings; there exists another drawing (shown in the figure) with only two crossings. Thus, the Petersen graph has crossing number 2. On a torus the Petersen graph can be drawn without edge crossings; it therefore has orientable genus 1.

The Petersen graph is a unit distance graph: it can be drawn in the plane with each edge having unit length.

The Petersen graph can also be drawn (with crossings) in the plane in such a way that all the edges have equal length. That is, it is a unit distance graph.

The simplest non-orientable surface on which the Petersen graph can be embedded without crossings is the projective plane. This is the embedding given by the hemi-dodecahedron construction of the Petersen graph. The projective plane embedding can also be formed from the standard pentagonal drawing of the Petersen graph by placing a cross-cap within the five-point star at the center of the drawing, and routing the star edges through this cross-cap; the resulting drawing has six pentagonal faces. This construction forms a regular map and shows that the Petersen graph has non-orientable genus 1.

The Petersen graph is strongly regular. It is also symmetric, meaning that it is edge transitive and vertex transitive. More strongly, it is 3-arc-transitive: every directed three-edge path in the Petersen graph can be transformed into every other such path by a symmetry of the graph. It is one of only 13 cubic distance-regular graphs.

The automorphism group of the Petersen graph is the symmetric group S₅; the action of S₅ on the Petersen graph follows from its construction as a Kneser graph. Every homomorphism of the Petersen graph to itself that doesn't identify adjacent vertices is an automorphism. As shown in the figures, the drawings of the Petersen graph may exhibit five-way or three-way symmetry, but it is not possible to draw the Petersen graph in the plane in such a way that the drawing exhibits the full symmetry group of the graph. Despite its high degree of symmetry, the Petersen graph is not a Cayley graph. It is the smallest vertex-transitive graph that is not a Cayley graph.

Application of Petersen graph

Hamiltonian paths and cycles

The Petersen graph is hypo-Hamiltonian: by deleting any vertex, such as the center vertex in the drawing, the remaining graph is Hamiltonian. In addition, this drawing shows symmetry of order three, in contrast to the symmetry of order five visible in the first drawing above.

The Petersen graph has a Hamiltonian path but no Hamiltonian cycle. It is the smallest bridgeless cubic graph with no Hamiltonian cycle. It is hypohamiltonian, meaning that although it has no Hamiltonian cycle, deleting any vertex makes it Hamiltonian, and is the smallest hypohamiltonian graph.

As a finite connected vertex-transitive graph that does not have a Hamiltonian cycle, the Petersen graph is a counterexample to a variant of the Lovász conjecture, but the canonical formulation of the conjecture asks for a Hamiltonian path and is verified by the Petersen graph.

Only five vertex-transitive graphs with no Hamiltonian cycles are known: the complete graph K₂, the Petersen graph, the Coxeter graph and two graphs derived from the Petersen and Coxeter graphs by replacing each vertex with a triangle. If G is a 2-connected, r-regular graph with at most 3r + 1 vertices, then G is Hamiltonian or G is the Petersen graph.

To see that the Petersen graph has no Hamiltonian cycle C, we describe the ten-vertex 3-regular graphs that do have a Hamiltonian cycle and show that none of them is the Petersen graph, by finding a cycle in each of them that is shorter than any cycle in the Petersen graph. Any ten-vertex Hamiltonian 3-regular graph consists of a ten-vertex cycle C plus five chords. If any chord connects two vertices at distance two or three along C from each other, the graph has a 3-cycle or 4-cycle, and therefore cannot be the Petersen graph. If two chords connect opposite vertices of C to vertices at distance four along C, there is again a 4-cycle. The only remaining case is a Möbius ladder formed by connecting each pair of opposite vertices by a chord, which again has a 4-cycle. Since the Petersen graph has girth five, it cannot be formed in this way and has no Hamiltonian cycle.

Example of Hamiltonian paths and cycles

Pentagon, USA.

»» READMORE...

JENIS-JENIS GRAPH

JENIS-JENIS GRAPH

1.      Graph sederhana
Graph yang tidak mempunyai sisi rangkap dan tidak memiliki gelung disebut graph sederhana.

2.      Graph tidak sederhana
- Graph rangkap
Sebuah graph yang memiliki sisi rangkap tetapi tidak memiliki gelung disebut graph rangkap (multi-graph).
- Graph semu
Sebuah graph yang memilki sisi rangkap dan memiliki gelung disebut graph semu (pseudograph).

3.      Graph komplit
Sebuah graph komplit (graph lengkap) dengan n titik, dilambangkan dengan Kn , adalah graph sederhana dengan n titik dan setiap dua titik berbeda dihubungkan dengan sebuah sisi.
Sebuah graph lengkap sering juga disebut sebagai graph universal. Kerena tiap titik dalam grap lengkap selalu dihubungkan dengan titik lain melalui satu sisi, maka derajat tiap titik dalam sebuah graph lengkap G dengan n titik adalah n-1. Dengan demikian, banyaknya sisi dalam graph lengkap G adalah .

4.      Graph bagian (subgraph)
Sebuah graph H disebut graph bagian (subgraph) dari graph G

5.      Graph teratur
Sebuah graph disebut graph teratur jika semua titiknya berderajat sama. Misal graph teratur berderajat tiga.

6.      Graph lingkaran
Graph sederhana yang setiap titiknya berderajat dua disebut graph lingkaran. Graph lingkaran dengan n titik dilambangkan dengan Cn. Graph lingkaran ini disebut juga graph teratur berderajat dua.

7.      Graph kosong atau graph nol
Graph yang tidak memiliki sisi disebut graph kosong atau graph nol. Graph nol dengan n titik dilambangkan dengan Nn. Graph yang hanya mempunyai satu buah titik tanpa sebuah sisi dinamakan graph trivial. Misal graph kosong dengan tiga titik (N3).

8.      Graph bipartisi
Sebuah graph G disebut graph bipartisi jika V(G) (himpunan titik graph G) dapat dipartisi menjadi dua himpunan bagian X dan Y sedemikian sehingga setiap sisi dari G menghubungkan sebuah titik di X dan sebuah titik di Y. Kita notasikan (X,Y) bipartisi dari G.
Apabila G sederhana dan bipartisi dengan partisi (X,Y) sedemikian sehingga setiap titik di X berhubungan langsung dengan setiap titik di Y, maka G disebut graf bipartisi lengkap, dinotasikan dengan Km,n dengan m dan n adalah banyaknya titik dikedua partisi tersebut.

9.      Graph berbobot
Sebuah graph G disebut graph berbobot jika setiap sisinya diberi sebuah harga.

»» READMORE...

TERMINOLOGI (ISTILAH) DASAR PADA GRAPH

TERMINOLOGI (ISTILAH) DASAR PADA GRAPH

1.        Bertetangga (adjacent)
Dua buah titik, titik u dan titik v pada graph tak berarah G dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi. Dengan kata lain, u bertetangga dengan v jika (u,v) adalah sebuah sisi pada graph G.

2.        Bersisian (incident)
Misal sembarang sisi , sisi e dikatakan bersisian dengan titik u dan titik v.

3.        Titik terpencil (isolated vertex)
Titik terpencil adalah titik yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya. Atau, dapat juga dikatakan bahwa titik terpencil adalah titik yang tidak satupun bertetangga dengan titik-titik lainnya.

4.        Jalan (walk)
Misalkan G adalah sebuah graph. Sebuah jalan (walk) di G adalah sebuah barisan berhingga (tak kosong) yang suku-sukunya bergantian titik dan sisi, sedemikian hingga dan adalah titik-titik akhir sisi ei, untuk . Katakan W adalah sebuah jalan dari titik (titik awal) ke titik (titik akhir), sedangkan titik-titik disebut titik-titik internal W dan k disebut panjang jalan W. Dengan kata lain, jalan (walk) ialah dimana sisi dan titiknya boleh berulang.
Dari gambar, barisan adalah sebuah jalan di graph G yang panjangnya 4.

5.        Jejak (trail)
Jejak adalah jalan yang sisi-sisinya tidak ada yang sama, tetapi titiknya boleh ada yang sama.
Dari gambar, barisan adalah sebuah jejak di graph G dengan panjang 5.

6.        Lintasan (path)
Lintasan adalah jejak yang semua titiknya berbeda (sisi dan titiknya tidak ada yang sama).
Dari gambar, barisan adalah sebuah lintasan di graph G dengan panjang 4.

7.        Sirkit
Sirkit adalah Jejak tertutup.

8.        Siklus/lintasan tertutup (sikel)
Sikel adalah sebuah sirkit yang titik awal dan semua titik internalnya berbeda (titik awal dan titik akhirnya sama dimana titik dan sisinya tidak ada yang berulang).

9.        Terhubung dan tidak terhubung
Suatu graph G dikatakan terhubung jika dan hanya jika setiap 2 titik dalam G terhubung (gambar a), sedangkan suatu graph G dikatakan tidak terhubung jika dan hanya jika ada 2 titik dalam G yang tidak terhubung.

10.    Komplemen
Misalkan G sebuah graph sederhana. Komplemen G dilambangkan dengan , adalah graph sederhana yang himpunan titiknya sama dengan himpunan titik G dan dua titik u dan v di berhubungan langsung jika dan hanya jika di G titik u dan v tidak berhubungan langsung.

Isomorfik
Dua graph G dan H dikatakan isomorfik ditulis , jika:
(i) Terdapat korespondensi satu-satu antara V(G) dan E(G),
(ii) Banyaknya sisi yang menghubungkan dua titik u dan v di G, sama dengan banyaknya sisi yang menghubungkan dua titik di H yang korespondensi dengan titik u dan titik v.
Graph G1 isomorfik dengan graph G2, sedangkan graph G1 tidak isomorfik dengan graph G3.

Contoh
Graf dalam penerapannya :
Rangkaian listrik, Isomer senyawa kimia karbon dll.

»» READMORE...